Тригонометрические уравнения с знаком корня

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

тригонометрические уравнения с знаком корня

Тригонометрические уравнения ную под знаком тригонометрических ное под знаком корня уравнения, содержащие неизвестМетоды решения 1. 7 Тригонометрические уравнения и неравенства Комментарий Устойчивым области определения и возможной потере корней Пример Решить уравнение: si .. Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня. Н. Понятия ‚решить тригонометрическое уравнение“, „най— ти корень под знаком тригонометрической фуикции. и При решении уравнения сначала.

Поэтому среди решений уравнения 2кроме корней уравнения 1содержатся все корни уравнений вида 3 при любом целом n. Во многих случаях в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над обеими частями уравнения, содержащего аркфункций, получается алгебраическое уравнение. В каждом таком случае корни данного уравнения содержатся среди корней алгебраического уравнения.

Методы решения сложных тригонометрических уравнений - Решение

Следовательно, для решения данного уравнения достаточно найти все решения алгебраического уравнения в поле действительных чисел и подвергнуть их проверке посредством подстановки в исходное уравнение. Проверка корней необходима, так как выполнение тригонометрической операции может внести "посторонние" решения.

Алгебраические функции, получающиеся в результате выполнения тригонометрических операций над аркфункциями, вообще говоря, являются иррациональными см. Следовательно, алгебраические уравнения, получающиеся после выполнения тригонометрических операций над обеими частями данного уравнения, в общем случае будут также иррациональными. Освобождение иррационального уравнения от радикалов также может привести к появлению посторонних решений.

тригонометрические уравнения с знаком корня

На нижеследующих примерах пояснены различные приемы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции. Это есть "постороннее" решение, появившееся в результате возведения в квадрат обеих частей уравнения 4. Значение есть корень иррационального уравнения, но не есть решение данного уравнения 4так как данное уравнение не имеет решений.

71 Тригонометрические уравнения и неравенства

В самом деле, предположив противное, мы придем к противоречию с тождеством: Значение удовлетворяет другому уравнению: Если взять синус от обеих частей этого последнего уравнения, то получится то же самое иррациональное уравнение. Для получения алгебраического уравнения, которому должно удовлетворять неизвестное, произведем над обеими частями данного уравнения какую-нибудь тригонометрическую операцию.

По возведении обеих частей в квадрат, получим: Поэтому предложенное уравнение не может иметь отрицательных решений. Легко видеть, что единственным решением данного уравнения является: В этом случае уравнение не может иметь положительных решений, и единственным его решением является: В этом случае предложенное уравнение не имеет решений, так как аргументы аркфункций mх и nх имеют разные знаки, а поэтому дуги arc sin mx и arc cos nx расположены в различных промежутках.

В этом случае уравнение противоречиво.

  • Тригонометрические уравнения — формулы, решения, примеры
  • Тригонометрическое уравнение с выборкой корней. Задание 13
  • Тригонометрические уравнения. Начальный уровень.

Приравнивая косинусы обеих частей, получим алгебраическое уравнение: Освобождая последнее уравнение от радикалов, получим: Большое влияние на развитие астрономии и тесно связанной с ней тригонометрии оказали потребности развивающегося мореплавания, для которого требовалось умение правильно определять курс корабля в открытом море по положению небесных светил. Значительную роль в развитии тригонометрии сыграла потребность в составлении географических карт и тесно связанная с этим необходимость правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого астронома Гиппарха середина II века до н. Тригонометрия как наука, в современном смысле этого слова не было не только у Гиппарха, но и у других ученых древности, так как они еще не имели понятия о функциях углов и даже не ставили в общем виде вопроса о зависимости между углами и сторонами треугольника.

тригонометрические уравнения с знаком корня

Но по существу они, пользуясь известными им средствами элементарной геометрии, решали те задачи, которыми занимается тригонометрия. При этом основным средством получения нужных результатов было умение вычислять длины круговых хорд на основании известных соотношений между сторонами правильных трех- четырех- пяти- и десятиугольника и радиусом описанного круга.

Гиппарх составил первые таблицы хорд, то есть таблицы, выражающие длину хорды для различных центральных углов в круге постоянного радиуса. Это были, по существу, таблицы двойных синусов половины центрального угла. Птолемей делил окружность на градусов, а диаметр- на частей. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, он записывал на основании теоремы Пифагора: В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху теорема Птолемея: Пользуясь этой теоремой, греки умели с помощью теоремы Пифагора по хордам двух углов вычислить хорду суммы или хорду разности этих углов или хорду половины данного угла, то есть умели получать результаты, которые мы получаем теперь по формулам синуса суммы или разности двух углов или половины угла.

Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: Абу-ль-Вафа дал совершенно точное геометрическое определение линии тангенса в тригонометрическом круге и присоединил к линиям тангенса и котангенса линии секанса и косеканса.

Презентация по алгебре на тему "Решение тригонометрических уравнений"

Он же выразил словесно алгебраические зависимости между всеми тригонометрическими функциями и, в частности, для случая, когда радиус круга равен единице. Этот чрезвычайно важный случай был рассмотрен европейскими учеными на лет позднее.

тригонометрические уравнения с знаком корня

В трудах среднеазиатских ученых тригонометрия превратилась из науки, обслуживающей астрономию, в особую математическую дисциплину, представляющую самостоятельный интерес.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой. Это отделение обычно связывают с именем азербайджанского математика Насирэддина Туси Он обобщает в ней методы решения прямоугольных треугольников и дает таблицы синусов с точностью до 0, При этом замечательно то, что он полагал радиус круга равным 10 или 10то есть выразил значения тригонометрических функций в десятичных дробях, перейдя фактически от шестидесятиричной системы счисления к десятичной.

В развитии тригонометрии намечается новое направление- аналитическое. Если до этого главной целью тригонометрии считалось решение треугольников, вычисление элементов геометрических фигур и учение о тригонометрических функциях строилось на геометрической основе, то в XVII-XIX вв.

тригонометрические уравнения с знаком корня

О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

В первой половине XIXв. Эйлер разработал тригонометрию как науку о тригонометрических функциях, дал ей аналитическое изложение, выведя всю совокупность тригонометрических формул из немногих основных формул. Эйлеру принадлежит окончательное решение вопроса о знаках тригонометрических функций во всех четвертях круга, вывод формул приведения для общих случаев.

тригонометрические уравнения с знаком корня

Введя в математику новые функции- тригонометрические, стало целесообразным поставить вопрос о разложении этих функций в бесконечный ряд.